Question

Fie SABCD o piramida patrulatera regulată , AB =2a și SA = a radical din 3 .Un plan paralel cu baza piramidei ,dus la 2/3 din inalțime față de bază, intersectează muchiile laterale in Aprim ,B prim ,C prim ,respectiv D prim .
a) Calculați inalțimea piramidei .
b) Calculați perimetrul patratului A'B'C'D'
c) Calculați volumul trunchiului pe piramidă ABCDA'B'C'D'

Answer 1

diagonala bazei mari Dbm
Dbm=√(4a^2 + 4a^)
Dbm=2a√2
AO=Dbm/2
AO=a√2

inaltimea piramidei H
H=√(AS^2-AO^2)=√(3a^2-2a^2)
H=a

din ipoteza SO'=H/3, O' e mijlocul bazei mici (A'B'C'D')
construim apotema piramidei SN⊥AB, N∈AB, SM apotema piramidei mici,M∈A'B'
triunghiurile SMO' si SNO sunt asemenea
MO'/NO = SO'/SO= 1/3 ⇒ l/L = 1/3,l e latura bazei mici, L latura bazei mari
l=2a/3
perimetru A'B'C'D' p
p=4 x l = 4 x 2a/3
p=8a/3

se cunoaste faptul ca
v/V = (1/3)^3 lucru care de demonstreaza f. usor
v/(V-v)=1/26 (proprietate rapoarte), V-v e volumu trunchiului de piramida
V-v=26v , v este volumu piramida mica
v=(4a^2/9) x SO'/3
v=(4a^2/9) x a/6
v=4a^3 / 81
V-v=104a^3/81
un rezultat cam aiurea da poti calcula volumu trunchiului de piramida cu formula clasica si vezi cat e.
de retinut :
raportul a doua arii de triunghiuri este patratul raportului de asemanare
raportul a 2 volume de piramide asemenea este cubul raportului de asemanare