Question

Fie SABCD o piramida patrulatera regulata cu fetele laterale triunghiuri echilaterale cu latura egala cu 18 cm. Calculati:
a) masura unghiului format de SB cu planul (SAC)
b) distanta de la punctul O , centrul bazei, la planul (SBC)
c) lungimea proiectiei inaltimii SO pe planul (SBC)
d) distanta de la A la SM, unde M este mijlocul lui [BC]

Answer 1

a) m∡(SB;(SAC))=m∡(SB;SO)=m∡(OSB)=45° deoarece ΔSOB este dreptunghic isoscel de catete OB=OS=9√2 cm si ipotenuza SB=18 cm;  unde OB=DB/2=18√2/2=9√2 iar SO se calculeaza fie cu T. PITAGORA in   ΔSOB fie cu sin∡(OSB).
b) d(O;(SBC))=d(O;SM)=OE unde E∈[SM] si OE⊥SM. OE se calculeaza  in ΔSOM dreptunghic in O cu Teorema a doua a inaltimii (h=(c1·c2)/i)⇒ 
OE=(OM·OS)/SM=(9·9√2)/(9√3)=3√6 cm. 
c) Proiectia inaltimii SO pe planul (SBC) este egala cu SE si se calculeaza cu Teorema catetei in ΔSOM⇒ SO²=SE·SM⇒(9√2)²=SE·9√3  ⇒ SE=6√3 cm 
d) d(A;SM)=AF unde F∈[SM] iar NF⊥SM ; N este mijlocul [AD]. In ΔNMF   dreptunghic in F ; OE este linie mijlocie ⇒NF=2·OE=2·3√6=6√6 cm. Deoarece AN⊥(NMS) iar NF⊂(NMS)⇒ AN⊥NF unde AN=9 cm; deci putem calcula cu T. PITAGORA in ΔNAF dreptunghic in N : AF=√(NF²+NA²)=√[(6√6)²+9²]=3√33 cm