Question

Fie sigma apartine S5, sigma=( 1 2 3 4 5, 2 3 1 5 4). Sa se determine sigma^n, n apartine N*

Answer 1

Salut,

Îți reamintesc că la aceste exerciții înmulțirea este de fapt compunerea permutărilor. Acel S₅ din enunț nu se referă la puterea permutării, ci se referă la gradul permutării, adică la numărul de termeni ai permutării (permutarea din enunț are 5 termeni).

$\sigma^2=\sigma\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 & 4 & 5\end{array}\right)\ (1).\\\\\sigma^3=\sigma^2\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 & 4 & 5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\1 & 2 & 3 & 5 & 4\end{array}\right)\ (2).\\\\\sigma^4=\sigma^3\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\1 & 2 & 3 & 5 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 4 & 5\end{array}\right)\ (3).$

$\sigma^5=\sigma^4\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 4 & 5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 & 5 & 4\end{array}\right)\ (4).\\\\\sigma^6=\sigma^5\cdot\sigma=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\3 & 1 & 2 & 5 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\2 & 3 & 1 & 5 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{array}\right)\ (5).$

Am obținut deci că pentru n ≥ 6, avem că $\sigma^n=e$, unde e este permutarea identică (cele 2 rânduri sunt egale cu 1  2  3  4  5).

Pentru n = 1 avem chiar definiția permutării din enunț, iar pentru n = 2, 3, 4 și 5, avem relațiile (1), (2), (3), (4) de mai sus.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.