Question

Fie șirul de numere naturale: 3, 8, 13, 18 …..

a) Scrieți următorii trei termeni ai șirului;

b) Determinați al 2016-lea termen al șirului;

c) Calculați suma termenilor impari ai șirului mai mici decât 2016.

Answer 1

E progresie aritmetică având primul termen al progresiei $a_1=3$ și rația $r=8-3=5$.
$a)$ Orice număr dintr-o progresie aritmetică se poate scrie în funcție de primul termen al progresiei, $a_1$, și rația, $r$, astfel: $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$.
Prin urmare, [tex]a_1=3\\ a_2=3+(2-1)\cdot 5=8\\ a_3=3+(3-1)\cdot 5=13\\ a_4=3+(4-1)\cdot 5=18\\ [/tex].
Următorii trei termeni sunt: [tex]a_5=3+(5-1)\cdot 5=23\\ a_6=3+(6-1)\cdot 5=28\\ a_7=3+(7-1)\cdot 5= 33.[/tex]
$b)$ Se folosește aceeași formulă de calcul: $a_{2016}=a_1+(2016-1)\cdot r=3+2015\cdot 5=10078$.
$c)$ Aici dau doar o idee fiindcă nu sunt sigură de raționament...
Termenii impari ai șirului sunt 3, 13, 23, 33, ... Se vede că este tot o progresie aritmetică având primul termen $a_1=3$ și rația $r=13-3=10$. Pentru suma primilor n termeni avem formula: $S_n=\frac{a_1+an}{2}\cdot n$.
Acum vine partea de care nu sun sigură. Câte numere impare sunt de la 1 la 2016... Am luat numerele de la 1 la 10 și am observat că sunt 5 numere pare și 5 numere impare. Pe baza asta am zis că de la 1 la 2016 sunt $\frac{2016}{2}=1008$ numere impare.
Deci, pentru $n=1008$, $a_1008=a_1+(1008-1)\cdot r=3+1007\cdot 10=10073$.
$S_{1008}=\frac{a_1+a_{1008}}{2}\cdot 1008=\frac{3+10073}{2}\cdot 1008=\frac{10076}{2}\cdot 1008=5038\cdot 1008$.