Question

fie sirul de numere ratioale pozitive de forma 1/1 , 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3 , 4/1, 3/2 , 2/3, 1/4, ..... sa se determine al catelea termen al sirului este nr 2016/2015.

Answer 1

Pentru a gasi regula de constituiere a termenilor sirului folosim urmatoarele strategii:
-putem cauta care este diferenta dintre 2 termeni consecutivi (aici nu are un efect deosebit!)
-facem aceeasi diferente dar separat pentru numitori si numaratori (apare o oarecare regula, dar nu suficient de clara)
-asezam numitorii si numaratorii unii sub altii:

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
Se observa 2 reguli destul de clare, din care cea a numitorilor pare mai facila:
1   12   123    1234.....
Va trebui sa aflam intai ce termeni contin pe 2015 si apoi care dintre ei are si numaratorul 2016
-primul termen care contine pe 2015 este in grupa de numitori 123456....2014 2015. Cum numaratorii grupei sunt asezati invers decat numitorii (adica 2015 2014......654321), avem ca aceasta prima grupa are fractia 1/2015 ceea ce nu convine cerintelor
Numaratorul 2016 va corespunde numitorului 2015 abia la gruparea
numaratori:   4030.........2016.........       1
numitori:          1............2015...............2015+2015=4030
Sa aflam cati termeni sunt inaintea acestei grupari:
1  12   123   1234     ....      1234...4028 4029
N=1+2+3+4+4029=4029*4030/2=2015*4029
La acest numar mai adaugam 2015 care este pozitia termenului cerut in ultima grupare.
Final: 2016/2015 este termenul 2015*4029+2015=2015*4030=2*2015^2