Question

Fie sirul: $(x _{n})$, definit astfel:
$x_{1}$ apartine (0,1) si $x_{n+1}=\frac{(x_{n})^{5} +4x_{n} }{5}$ oricare ar fi n nr natural nenul.
a.) Aratati ca xn apartine (0,1) oricare ar fi n nr natural nenul.
b.) aratati ca sirul xn este convergent
c.) calculati $\lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+3} }{x_{n} }$

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) p fie x1∈(0;1)

evident avem xn>0

dar si

atunci (x1)^5<x1 si ((x1)^5+4x1)/5<5x1/5=x1<1

deci x2<x1

analog x3<x2.....x(n+1) <xn,...<x2<x1

deci xn∈(0;1)

b) am arata mai sus ca este marginit si monoton...deci convergent

c) daca e monoton si marginit, are limita finita; fie acesta limita =L (ca idee , este 0)

dar lim xn=lim x(n+k)

deci trecand   la limita relatria data  avem L/L=1

( e o teorema/Lema/proprietate/criteriu  in sensul acesta, am uitat a  cui anume)