Question

fie sistemul
x-z=2
2x+y+2z=-1
3x+2y+z=0
a)sa se scrie matricile asociate sistemului
b)sa se precizeze ce tip de sistem avem
c)sa se rezolve sistemul daca este compatibil
d)sa se calculeze inversa matricii sistemului daca exista
 va rog sa mi-o rezolvati si sa si explice cineva.. mersi mult

Answer 1

Matricea sistemului este
$A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&1&2\\3&2&1\end{array}\right)$
Det(A)=1-4+3-4=-4≠0, deci sistemul este compatibil determinat si matricea A are inversa (este nesingulara)
Matricea extinsa a sistemului se obtine atasand matricei A in partea dreapta, coloana termenilor liberi .
Rezolvarea se poate face - cu regula lui Cramer
                                             - cu inversa matricei sistemului
                                             - si altele
Cu regula lui Cramer:

Se calculeaza>

$\Delta x = \left|\begin{array}{ccc}2&0&-1\\-1&1&2\\0&2&1\end{array}\right| =2+2-8=-4$  Am inlocuit in det(A) coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi. Asemanator, calculam>

$\Delta_y= \left|\begin{array}{ccc}1&2&-1\\2&-1&2\\3&0&1\end{array}\right| =-1+12-3-4=4$

$\Delta_z= \left|\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&1&-1\\3&2&0\end{array}\right| =8-6+2=4$

$x=\dfrac{\Delta_x}{det(A)}=1$

$y=\dfrac{\Delta_y}{det(A)}=-1$

$z=\dfrac{\Delta_z}{det(A)}=-1$

Pentru Inversa matricei, parcurgi etapele:
- scrii transpusa matricei A, care se noteaza $A^t$, care se obtine transformand liniile matricei A in coloane.
- scrii matricea adjuncta (sau reciproca). Aceasta se noteaza $A^*$ si se obtine inlocuind in transpusa, fiecare element cu complementul sau algebric, adica elementul din linia l si coloana c, se inlocuieste cu:

$(-1)^{linia+coloana}\cdot\Delta_{l;c}$, unde $\Delta_{l;c}$ este determinantul ce se obtine din determinantul transpusei stergand din aceasta linia l si coloana c.