Question

Fie sriul $(a_{n} ), a_n =\frac{n(n+2)}{(n+1)^{2} }.$

Sa se determine sirul $(b_{n} ), b_{n}=a_{1} * a_{2} *a_{3} *...*a_{n}$

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$b_{n} = \dfrac{1 \cdot 3}{ {2}^{2} } \cdot \dfrac{2 \cdot 4}{ {3}^{2} } \cdot \dfrac{3 \cdot 5}{ {4}^{2} } \cdot ... \cdot \dfrac{(n - 1) \cdot (n + 1)}{ {n}^{2} } \cdot \dfrac{n \cdot (n + 2)}{ {(n + 1)}^{2} } =$

$= \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot (n + 1) \cdot n \cdot (n + 2)}{ {2}^{2} \cdot {3}^{2} \cdot {4}^{2} \cdot ... \cdot {n}^{2} \cdot {(n + 1)}^{2} }$

$= \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n - 1) \cdot n}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n \cdot (n + 1)} \cdot \dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot ... \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n \cdot (n + 1)}$

$= \dfrac{1}{n + 1} \cdot \dfrac{n + 2}{2} = \dfrac{n + 2}{2(n + 1)}$