Question

Fie suma r=1/8+1/24+1/48+1/80+...+1/9800.
a) Câți termeni are suma?
b) Arătați că 0,24<r<0,25.
Vă rog! Mulțumesc! ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

suma se poate scrie:

$r = \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{48} + \frac{1}{80} + ... + \frac{1}{9800} = \\ = \frac{1}{ {3}^{2} - 1} + \frac{1}{ {5}^{2} - 1} + \frac{1}{ {7}^{2} - 1} + \frac{1}{ {9}^{2} - 1} + ... + \frac{1}{ {99}^{2} - 1}$

a) din recurența șirului, deducem că avem:

(99 - 3)÷2 + 1 = 49 termeni

b)

$r = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ... + \frac{1}{2450}\right) =$

$= \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + ... + \frac{1}{49 \times 50} \right)$

$= \frac{1}{4}\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{49} - \frac{1}{50}\right)$

$= \frac{1}{4}\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{50}\right) = \frac{1}{4}\cdot \frac{49}{50} = \frac{1}{4}\cdot \frac{98}{100}$

$0.24 = \frac{24}{100} = \frac{96}{400} < \frac{98}{400}$

$0.25 = \frac{100}{400} > \frac{98}{400}$

$\iff 0.24 < \frac{98}{400} < 0.25 \implies 0.24 < r < 0.25$

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Frumos exercițiu... :)
Sper că am fost explicit... Succese!