Question

Fie suma S =3+3 la puterea a 2a+ 3 la puterea a 3a+...+3 la puterea a 12a
a) Arătați că suma S este divizibilă cu 12
b) Arătați că suma S este divizibilă cu 15
c) Arătați că suma S este divizibilă cu 5

Answer 1

S = 3 + 3^2 + 3^3 +...+ 3^12

a) 3+3^2 = 3+9 = 12
S = (3 + 3^2) + (3^3 + 3^4) +...+ (3^11 + 3^12)
S = (3 + 3^2) + 3^2(3 + 3^2) +...+ 3^10(3 + 3^2)
S = 12 + 3^2 * 12 +...+ 3^10 * 12
S = 12(1 + 3^2 +...+ 3^10) divizibil cu 12

b) 3 + 3^3 = 3+27 = 30 divizibil cu 15
S = (3 + 3^3) + (3^2 + 3^4) +...+ (3^10 + 3^12)
S = (3 + 3^3) + 3(3 + 3^3) +...+ 3^9(3 + 3^3)
S = 30 + 3*30 +...+ 3^9 * 30
S = 30(1 + 3 +...+ 3^9) divizibil cu 15

c) S divizibil cu 15 divizibil cu 5 rezulta S divizibil cu 5