Question

Fie T1T2 tangenta comuna exterioara a cercurilor C1(O1,25cm)si C2(O2,15cm),astfel incat T1∈C1 si T2∈C2.Notand M=O1O2 intersectat cu T1T2,calculati distanta O1O2 stiind ca T1T2=24cm
VA ROGGG MULTT

Answer 1

Raza unui cerc cade perpendicular pe tangenta la cercul respectiv.
Deci stim de pe acum ca $\angle{O1T1M}=\angle{O2T2M}=90$
deoarece O1T1, si O2T2 sunt raze(O1, O2 sunt centrele cercurilor, si T1 T2 sunt puncte pe cele doua cercuri) iar punctul M apartine lui T1T2, deci MT1 si MT2 sunt tangente la cele doua cercuri

atunci avem triunghiurile O1T1M si O2T2M dreptunghice cu catetele O1T1,T1M respectiv O2T2,T2M
Doua drepte care sunt perpendiculare pe aceeasi dreapta sunt paralele intre ele
O1T1 este perpendicular pe T1T2, O2T2 este perpendiculara pe O2T2, atunci rezulta ca
O1T1||O2T2, unde O1O2 este o secanta. Folosindu-ne de teorema secantei pentru unghiuri interne, stim ca:
$\angle{T1O1M}=\angle{T2O2M}${1}
In general tangenta unui unghi in triunghiul dreptunghic are formula
$\tan=\frac{cateta opusa}{cateta alaturata}[\tex] Daca aplicam asta la cele doua triunghiuri ale noastre [tex]\tan{T1O1M}=\frac{T1M}{O1T1}[\tex] [tex]\tan{T2O2M}=\frac{T2M}{O2T2}[\tex] Stiind din relatia 1 ca unghiurile tangentelor sunt egale atunci cele doua ecuatii sunt egale [tex]\frac{T1M}{O1T1}=\frac{T2M}{O2T2}[\tex] Dar stim ca O1T1=25 si O2T2=15 pentru ca sunt razele cercurilor, atunci avem [tex]\frac{T1M}{25}=\frac{T2M}{15}\Rightarrow T2M=\frac{15}{25}T1M=\frac{3}{5}T1M$

Dar noi stim ca T1T2=T1M+T2M=24
Inlocuind in relatie pe T2M cu formula de mai sus
$T1M+\frac{3}{5}T1M=24\Rightarrow \frac{8}{5}T1M=24\Rightarrow T1M=\frac{5*24}{8}=15$
folosindu-ne de relatia de mai sus
$T2M=\frac{3}{5}T1M=\frac{3*15}{5}=9$

Odata aflate T1M T2M, vedem ca avem 2 triunghiuri dreptunghice cu catetele cunoscute dar ale caror ipoteze nu le cunoastem. Mai mult ce vrem sa aflam este suma acestor ipotenuze
O1O2=O1M+O2M
Putem aplica teorema lui Pitagora si aflam aceasta suma
$O1M^{2}=O1T1^{2}+T1M^{2}=25^2+15^2=625+225=850\Rightarrow O1M=\sqrt{850}$
$O2M^{2}=O2T2^{2}+T2M^{2}=15^2+9^2=225+81=306\Rightarrow O2M=\sqrt{306}$
Acum le aduni si asta este segmentul tau O1O2

Answer 2

Distanta centrelor cercurilor O1O2 ....