Question

Fie t1t2 tangenta comuna exterioara cercurilor C1(O1,r1) si C2(O2,r2), astfel incat t1apartine C1 si t2apartineC2. Notand {M} =O1O2∩T1T, calculati dostanta O1O2 stiind ca MT1=8radical din 3 , MT1=6 radical din 3 si r2 = 6cm.

Answer 1

tinand cont de raze in punctul de contact, se face un desen

O1T1siO2T2 sunt razele r1 si, respectiv, r2

O1T1|| O2T2, ca perp.pe aceeasi dreapta⇒(TFA)⇒ΔMT2O2≈ΔMT1O1

atunci

MT1/MT2=MO2/MO1=O2T2/O1T1

6√3/8√3=3/4=MO2/MO1=6/O1T1

⇒O1T1=8

⇒O1M=√(8²+(8√3)²)=16

⇒O2M/16=3/4⇒O2M=12⇒O1O2=16-12=4

Answer 2

Deoarece raza este perpendiculară pe tangentă, în punctul de tangență,

problema se reduce la triunghiul MT₁O₁, dreptunghic în T₁.

În acest triunghi avem O₂T₂ || O₁T₁.

Cu teorema lui Pitagora în Δ MT₂O₂, se determină MO₂ = 12 cm

T₁T₂ = 8√3 - 6√3 = 2√3 cm

Aplicăm teorema lui Thales în triunghiul MT₁O₁:

MT₂/T₂T₁ = MO₂/O₂O₁ ⇒ 6√3/2√3 = 12/O₂O₁ ⇒ 3 = 12/O₂O₁ ⇒ O₂O₁ =4 cm