Matematică, întrebare adresată de DannyDanutzz, 9 ani în urmă

Fie tetraedrul ABCD si M,N,P,Q,R si S in ordine mijloacele muchiilor (AB), (CD), (BC), (AD), (AC) si (BD) aratati ca:
a) Dreptele MN si PQ sunt concurente
b) dreptele MN, PQ si RS sunt concurente
c) planele (MCD), (NAB), (PAD), (QBC), (RBD) si (SAC) au un punct comun

AJUTOR URGENT!!!!!!! DAU CORONITA!!!!

albatran: e cam tare şi nu merge urgent, dar poti si tu sa triş...sa iti usurezi munca, pt ca si autorul problemei a depasit materia...voi studiati doar tetraedrul regulat...asa ca fa-l si pe asta regulat 9toate muchiile egale) si atunci va iesi mai usor..daca e tetraedur reg., o sa ai niste romburi congruente, diagonalele au acelasi mijloc...tetraedru oarecare, alea devin paralelograme

albatran: poate diseara, daca nu ti-o face altcineva pana atunci

albatran: pardon, la tetraedru regulat MNPQ si RNSQ, patrate confruente

albatran: problema e su -per- ba

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de albatran

a) Mp linie mijlocie ion ΔABC⇒MP|| si=1/2AC (1)
NQ l.m inΔACD⇒QN||si =1/2AC (2)
din (1) si ( 2) MPNQ patrulater cu 2 laturi opuse paralele si congruente, MNPQ paralelogram ,
MP||si =QN
deci MN si QP diagonale in paralelogram .MN∩QP≠∅. cele 2 drepte coplanare, neparalele sunt concurente, cerinta

b)fieMN∩QP ={O} asa fel incat, PO≡OQ (3)
( in paralelogram, diagonalele se injumataesc

RP, l.m in ΔABC, RP||si =AB/2 (4)

QS, l.m. in ΔABD⇒QS||si=AB/2 (5)
din (4) si (5)⇒RPQS patrulater cu 2 laturi opuse paralele si congruente, RPSQ paralelogram, RS si PQ diagonale , asadar⇒RS∩PQ≠∅

FieRS∩PQ={T}
dar T∈PQ asafel incat PT≡TQ (intr-un paralelogram diagonalele se injumatatesc)
PO≡OQ (3) si cum punctul care imparte un segment in un anume raport este unic, ⇒T≡O adica "Teste identic cu O"

asadar MN∩PQ∩RS={O}, cerinta

c)
Se observa ca:
(MCD) ∩(NAB)=MN
(PAD)∩ (QBC) =PQ
(RBD) ∩ (SAC)=RS

⇒(MCD) ∩(NAB)∩ (PAD)∩ (QBC)∩ (RBD) ∩ (SAC) = MN∩PQ∩RS={O}, cerinta

Anexe: