Question

Fie $a_{1}, a_{2} ,..., a_{n}$ numere pozitive. Sa se arate ca: $\sqrt{ a_{1} a_{2} } \sqrt{ a_{1} a_{3} } +...+ \sqrt{ a_{1} a_{n} } + \sqrt{ a_{2} a_{3} }+...+ \sqrt{ a_{n-1} a_{n}} \leq \frac{n-1}{2}( a_{1}+ a_{2} +$...+$a_{n})$.

Answer 1

Aplici  inegalitatea  mediilor .Media  aritmetica  .decat  media  geometrica
e  preferabil  sa scrii  inegalitatea  invers
a1+a2)/2≥√a1a2
(a1+a3)/2≥√a1a3
-----------------------
(a1+an)/2≥√a1an suma  are  (n-1)  termeni.a1  apare  de  (n-1)  ori  si  ceilalti  a2...an  cate  odata
Continui  cu  ur,atorii  termeni
(a2+a3)/2≥√a2a3
(a2+a4)/2≥√a2a4
.......................
(a2 +an)/2≥√a2a4 termenul  a1  nu  apare,  termenul  a2  apare  de  (n-2) ori  si  ceilalti  termeni  a2...an  cate  odata
(a3+a4)/2≥√a3a4
.....................
(a3+an)/2≥√a3an   ter,enii  a1  si  a2  nu  mai  apar,  a3  apare  de  (n-3)  ori  si  ceilalti  n4...  cate  odata
....................................
an-1+an)/2≥√an-1an
_____________________ insumezi  toate  aceste  sume  partiale  >termenii  (ai  aj)/2 apar  de  (n-1) ori    i ,j∈1,n
deci 
(n-1)/2·(a1+a2+,,,a+n))≥√a1a2+√a1a3+...+√a1an+√a2an+√a2a3+...+√an-1·an