Question

Fie $A=\frac{1}{2}\left([tex]\begin{array}{cc}\sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3}\end{array}\right)$. Să se determine cel mai mic număr natural $n \in \mathbb{N}^{*}$, astfel încât $A^{n}=I_{2}$. (2 puncte)[/tex]

Answer 1

Răspuns:

$A=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle-\frac{1}{2}\\\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\displaystyle\frac{\pi}{6} & -\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\\\sin\displaystyle\frac{\pi}{6} & \cos\displaystyle\frac{\pi}{6}\end{pmatrix}$

Se arată prin inducție că dacă

$A=\begin{pmatrix}cos\alpha & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}$

Atunci

$A^n=\begin{pmatrix}\cos n\alpha & -\sin n\alpha\\\sin n\alpha & \cos n\alpha\end{pmatrix}$

Rezultă

$A^n=\begin{pmatrix}\cos\frac{n\pi}{6} & -\sin\frac{n\pi}{6}\\\sin\frac{n\pi}{6} & \cos\frac{n\pi}{6}\end{pmatrix}$

Atunci

$\cos\frac{n\pi}{6}=1, \ \sin\frac{n\pi}{6}=0\Rightarrow n=6$

Explicație pas cu pas: