Question

Fie trapezul ABCD cu AB||CD si O punctul de intersecție al diagonalelor.
Arătați ca Aria ABD=AriaABC;AriaACD=AriaBCD;AriaAOD=AriaBOC.
REPEDE
DAU CORONIȚA

Answer 1

   
Se da:
      Fie trapezul ABCD cu AB||CD si O punctul de intersectie al diagonalelor.
 
Se cere sa aratam ca:
a)  Aria ΔABD=Aria ΔABC
b)  Aria ΔACD=Aria ΔBCD 
c)  Aria ΔAOD=Aria ΔBOC

Rezolvare:
Vezi desenul atasat.

Constructii auxiliare:
In trapez am dus inaltimile BF = AG = CE = DH

a)
In triunghiurile ΔABD si ΔABC avem:
AB = baza comuna
Inaltimile corespunzatoare DH si CE sunt egale.
Rezulta ca ariilecelor 2 triunghiuri sunt egale.
         ⇒   Aria ΔABD = Aria ΔABC

b)
In triunghiurile ΔACD si ΔBCD  avem:
CD = baza comuna
Inaltimile corespunzatoare AG si BF sunt egale.
Inaltimile sunt in exteriorul triunghiurilor deoarece triunghiurile sunt otuzunghice.
Rezulta ca ariilecelor 2 triunghiuri sunt egale.
         ⇒   Aria ΔACD=Aria ΔBCD

c)
La subpunctul a) am aratat ca  Aria ΔABD = Aria ΔABC.
Triunghiul ΔAOB  este inclus si in ΔABD  si in ΔABC.
ΔAOB ⊂  ΔABD   si   ΔAOB ⊂  ΔABC

Aria ΔAOD  = Aria ΔABD - Aria ΔABO
Aria ΔBOC  = Aria ΔABC - Aria ΔABO
Dar  Aria ΔABD = Aria ΔABC
⇒ Aria ΔAOD=Aria ΔBOC