Question

Fie triunghi ABC isoscel de baza (BC) si E apartine (AC) , F apartine (AB) , Astfel incat (AE) congruent cu (AF) . Fie BE intersectat cu CF = {T} . Sa se arate ca : 
a) (BE) congruent cu (CF)
b) EF paralel cu BC 
c)triunghi TBC este isoscel 
d) daca (AD) este mediana in triunghi ABC , atunci punctele A, T, D sunt coliniare . 
   Va rog mult! Multumesc ! P.S. : imi cer scuze daca am facut greseli de scriere ! 

Answer 1

a) ΔABE ≡ Δ ACF, caz L.U.L ( unghi A comun, AB=AC din ipoteza, AE=AF din ipoteza) => BE=CF

b) reciproca lui Thales : daca o dreapta determina pe doua din laturile unui triunghi segmente proportionale, atunci ea este paralela cu a treia latura. 
AF/AB=AE/AC pentru ca AF=AE si AB=AC din ipoteza => EF || BC

c) de la punctul a), din congruenta triunghiurilor => unghi ABE = unghi ACF . dar din ipoteza unghi ABC unghi ACB ( triunghi isoscel) => unghi ABC-ABE = unghi ACB-ACF => unghi EBC = unghi FCB. CF intersectat cu BE = T => TBC isoscel. 

d) AD mediana in triunghiul ABC, dar ABC isosce => AD mediatoare. 
Orice punct de pe mediatoare este egal departat de capetele segmentului. 
Pentru ca TBC isoscel => TB=TC => T este egal departat de capetele segmentului BC pentru care AD este mediatoare => T∈AD => A,T,D coliniare