Question

Fie triunghiu oarecare ABC , M mijlocul lui AB , N mijlocul lui AC , P mijlocul lui BC , Q simetricul lui P fata de Masa și R simetricul lui P fata de N . A ) demonstrati că MNAQ și MNRA sunt paralelograme . B) Calculează m(unghi QAR )

Answer 1

a) Daca Q este simetricul lui P fata de M, atunci avem
MQ=MP
M,Q,P sunt coliniare.
De aici rezulta ca M este la mijlocul segmentului PQ
Daca R este simetricul lui P fata de N atunci avem
NP=PR
N,P,R sunt coliniare
De aici rezulta ca N este mijlocul segmentului PR

ne uitam acum la triunghiul ABC. M este mijlocul lui AB si P este mijlocul lui 
BC, atunci MP este linie mijlocie in triunghiul ABC si
MP||AC implicit MP||AN
$MP=\frac{AC}{2}=AN$
Am vazut mai sus ca MQ este coliniar cu MP, atunci daca MP||AN atunci MQ||AN si mai stim ca MQ=MP, atunci MQ=AN
Din cele 2 conditii de mai sus, MQ||AN si MQ=AN rezulta ca patrulaterul MNAQ este un paralelogram.

Folosind relatii analogice:
NP linie mijlocie ABC NP||AM si NP=AM
NR=NP si coliniare atunci rezulta ca
NR=AM si NR||AM atunci MNRA este paralelogram(2 laturi opuse sunt paralele si egale)
b) Din subpunctul A, rezulta ca
MN||AQ si MN||AR. Din cele 2 conditii rezulta ca AQ este paralel cu AR sau A,Q,R sunt coliniare. Cum cele 2 segmente au un punct comun, anume A, rezulta ca cele 2 segmente sunt coliniare. atunci rezulta ca
$\angle{QAR}=180$