Question

Fie triunghiul ABC , [AD bisectoarea unghiului A, DE || AC (E apartine lui AB ) si
DF || AB (F apartine lui AC ) .
Demonstreaza ca AFDE este romb , si daca, in plus EF || BC ,atunci tringhiul ABC este isoscel

Answer 1

a) AD bisectoarea unghiului A atunci
$\angle{EAD}=\angle{FAD}=\frac{\angle{BAC}}{2}$
apoi stim ca DE||AC.
Atunci inseamna ca AD este secanta a doua drepte paralele
si prin teorema unghiurilor alterne interne avem egalitatea
$\angle{EDA}=\angle{FAD}$(1)
Stim si ca DF||AB
din nou AD este secanta a doua drepte paralele si unghiurile alterne interne
egale sunt
$\angle{FDA}=\angle{EAD}$(2)
Atunci unghiul total EDF din 1 si 2 este egal cu
$\angle{EDF}=\angle{EDA}+\angle{FDA}=\angle{FAD}+\angle{EAD}=\angle{FAD}+\angle{FAD}=2\angle{FAD}\Rightarrow \angle{FAD}=\frac{\angle{EDF}}{2}=\frac{\angle{BAC}}{2}\Rightarrow \angle{EDF}=\angle{BAC}=\angle{EAF}$(3)
Ne uitam la patrulaterul AFDE. Vedem ca doua unghiuri opuse EDF si EAF sunt egale. Daca un patrulater are 2 unghiuri opuse egale, atunci acel patrulater este un paralelogram
Mai vedem din primele 2 relatii ca
$\angle{EDA}=\angle{FAD}=\angle{EAD}$
doua unghiuri ale triunghiului AED sunt egale atunci triunghiul AED este isoscel cu laturile congruente: AE=DE
Dar AE si DE sunt 2 laturi congruente intr-un paralelogram AFDE ceea ce inseamna ca paralelogramul AFDE este de fapt un romb.
Atunci toate laturile rombului sunt egale, adica DE=DF=AE=AF
b) Daca EF||BC atunci conform teoremei lui Thales
$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ dar stim ca AE=AF deci
AB=AC, adica ABC este triunghi isoscel