Question

Fie triunghiul ABC, [AM] mediana dusa din A, M apartine (BC), MN paralel AC, N apartine (AB) si MP paralel AB, P apartine (AC).Aratati ca APMN este paralelogram.

Answer 1

MN si AC sunt drepte paralele strabatute de aceeasi secanta AB, atunci unghiurile formate la intersectie vor fi egale, anume: $\angle{BNM}=\angle{BAC}$
In mod asemanator, dreptele paralele MP si AP sunt strabatute de secanta AC, atunci avem unghiurile  formate la intersectie egale: $\angle{CPM}=\angle{CAB}$ Dar vedem ca $\angle{CAB}=\angle{BAC}$, de unde reiese ca
$\angle{BNM}=\angle{CPM}$ Unghiurile totale din N si P sunt de 180 de grade(pentru ca sunt drepte) asa ca stim:
$\angle{BNM}=180-ANM$
$\angle{PCM}=180-APM$
cum $\angle{BNM}=\angle{CPM}$ atunci din ultimele trei relatii avem:

$\angle{ANM}=\angle{APM}$

In mod asemanator, mai vedem ca exista secanta BC la liniile paralele MN si AC, asa ca avem unghiurile egale: $\angle{NBM}=\angle{PMC}$
Acum sa ne concentram pe triunghiul NMB. Putem spune despre el ca:
$\angle{NMB}=180-\angle{BNM}-\angle{NBM}$ folosing ultima egalitate pe care am descoperit-o
$\angle{NMB}=180-\angle{BNM}-\angle{PMC}$
Stim ca unghiul total din M este de 180 de grade ca trece o dreapta prin el, deci avem
$\angle{NMB}=180-\angle{NMP}-\angle{PMC}$

Din cele doua relatii, rezulta ca $\angle{NMP}=\angle{BNM}=\angle{BAC}=\angle{NAP}$  conform egalitatilor aratate mai sus

Deci la sfarsit avem patrulaterul ANMP cu urmatoarele proprietati
$\angle{ANM}=angle{APM}$
$\angle{NMP}=angle{NAP}$
Deci unghiurile opuse sunt egale(1)
de asemenea MN||AP si AN||MP
Laturile opuse sunt egale(2)

Din 3 si 3 rezulta ca ANMP este paralelogram