Question

Fie triunghiul ABC, [AM] mediana dusă din A, M apartine(BC) , MN||AC, N apartine(AB) si MP||AB, P apartine(AC).Arătati ca APMN este paralelogram...

Answer 1

MN si AC sunt drepte paralele strabatute de aceeasi secanta AB, atunci unghiurile formate la intersectie vor fi egale, anume:
In mod asemanator, dreptele paralele MP si AP sunt strabatute de secanta AC, atunci avem unghiurile  formate la intersectie egale: Dar vedem ca , de unde reiese ca
Unghiurile totale din N si P sunt de 180 de grade(pentru ca sunt drepte) asa ca stim:


cum atunci din ultimele trei relatii avem:



In mod asemanator, mai vedem ca exista secanta BC la liniile paralele MN si AC, asa ca avem unghiurile egale:
Acum sa ne concentram pe triunghiul NMB. Putem spune despre el ca:
folosing ultima egalitate pe care am descoperit-o

Stim ca unghiul total din M este de 180 de grade ca trece o dreapta prin el, deci avem


Din cele doua relatii, rezulta ca   conform egalitatilor aratate mai sus

Deci la sfarsit avem patrulaterul ANMP cu urmatoarele proprietati


Deci unghiurile opuse sunt egale(1)
de asemenea MN||AP si AN||MP
Laturile opuse sunt egale(2)

Din 3 si 3 rezulta ca ANMP este paralelog