Question

Fie triunghiul ABC cu AB=4, BC=5, AC=6. Aratati ca 2cosB+cosC=1

Answer 1

Aplici teorema cosinusului ca sa afli pe cos B si cos C.
Latura opusa unghiului B este AC, deci:
$AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC \ cos B \Rightarrow \\ \Rightarrow 36=16+25-2*4*5 \ cos B \Rightarrow 36 =41-40 \ cos B \Rightarrow \\ \Rightarrow 40 \ cos B=41-36 \Rightarrow cos B = \frac{5}{40} \Rightarrow cos B=\frac{1}{8}$

Latura opusa unghiului C este AB, deci:
$AB^2=AC^2+BC^2-2*AC*BC \ cosC \Rightarrow \\ \Rightarrow 16=36+25-2*5*6 \ cos C \Rightarrow 16=61-60 \ cos C \Rightarrow \\ \Rightarrow 60 \ cosC=61-16 \Rightarrow cos C=\frac{45}{60} \Rightarrow cosC=\frac{3}{4}$

Atunci:
$2 \ cos B+cos C=2*\frac{1}{8}+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4} =\frac{4}{4} \Rightarrow 2 \ cosB+cosC=1$