Matematică, întrebare adresată de SorinMunteanu, 9 ani în urmă

Fie triunghiul ABC cu laturile AB=13 cm AC=15 cm si BC=14 cm,iar AD bisectoarea unghiului BAC,D apartine BC
Calculati aria triunghiului ABC
Daca DE perpendicular AC,E apartine AC,calculati lungimea segmentului EC

Va rog daca ma puteti ajuta si cu aceasta problema.

Chris02Junior: Aria o calculezi cu formula lui Heron A=rad(p(p-a)(p-b)(p-c)), unde p=semiperimetrul=(a-b+c):2 si a,b,c=laturile A= rad(21*6*7*8)= rad(2^4 * 3^2 * 7^2) = 2^2 * 3 * 7 = 12*7=84cmp. Pentru EC nu pot sa mai stau acum, imi pare rau. Sper ca te-am ajutat macar pe jumatate. :)

Solaris: Pentru EC teorema bisectoarei si apoi Pitagora.

Chris02Junior: OK, l-am scos pe CD=15/2 cu T. bisectoarei.

Solaris: Stimabile domn, mă gândeam că se poate afla DE calculând aria în două moduri şi apoi aplicând de 2 ori Pitagora. Dar nu se cunoaşte lungimea bisectoarei AD pentru a funcționa această metodă, pentru că nu se cunoaşte nici măsura unghiului BAC. Deci mă voi mai gândi. Dar nu apreciez "tonul" adresării, cum nici dvs. nu cred că l-ați aprecia dacă ați fi în locul meu. Puțină bunăvoință față de cei care se străduiesc totuşi n-ar strica.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de crivineantuviorel

Aria unui triunghi oarecare o putem calcula in mai multe moduri, in functie de datele cunoscute; cea mai utilizata este (bxh)/2, unde b = lungimea unei laturi iar h= inaltimea corespunzatoare ei, dar in acest caz nu cunoastem nici una din inaltimi.
Cea mai usor de aplicat in cazul cand cunoastem lungimile celor 3 laturi este formula lui Heron:
Aria triunghi=rad.[ p(p-a)(p-b)(p-c)]; calculam p=(13+14+15)/2=42/2=21
=> Aria triunghi ABC=rad.[21*(21-13)*(21-14)*(21-15)]=
rad.(21*8*7*6)=rad. (3*7*2^3*7*2*3)= rad. (2^4*3^2*7^2)=2^2*3*7=84
=>Aria triunghi ABC=84cm^2.

b)Daca AD bisectoare pt. (<ABC),
fie DF_|_AB, iar DE_|_AC din enunt =>DF=DE(*) (orice punct aflat pe bisectoarea unui unghi se afla la distanta egala de laturile unghiului)
Daca DE_|_AC => DE este inaltime in triunghiul ADC, unde baza este AC=15cm, la fel daca DF_|_AB =>DF inaltime in triunghiul ABD unde
baza este AB=13cm
Din (*) =>DF=DE si o notam h
Conform figurii (D apartine BC) =>
Aria triung.ABC=Aria triung. ADC+Aria triung.ABD
Din a) se stie ca A triung.ABC=84cm^2
=>84=15*h/2+13*h/2 =>28*h/2=84 =>14*h=84 =>h=6
=>DE=6cm

Daca AD bisectoare pt. (<ABC), cfm. Teoremei bisectoarei =>BD/DC=AB/AC(**)

=>BD/DC=13/15<=> BD/13=DC/15 ( ca proportie derivata cu aceeasi termeni; intr-o proportie putem inverse mezii intre ei si se pastreaza proportia)

Dar BD/13=DC/15 <=> BD/13=DC/15=(BD+DC)/(13+15)=14/28=1/2 (din proportii derivate cu termeni schimbati)

=> DC/15=1/2=>DC=15/2cm.

In triunghiul DEC(<E=90grd.)aplicam T.Pitagora pentru cateta EC:

EC^2=DC^2-DE^2=(15/2)^2-6^2=225/4-36=(225-4*36)/4==81/4

=>EC=radic.(81/4)=9/2 EC=9/2cm.