Question

Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B = 60 de grade si masura unghiului C = 30 de grade in care construim AD perpendicular BC , D apartine BC , prelungim pe [ AD cu [DM] congruent cu [AD] , M nu apartine lui A , AD=4 cm
Demonstrati ca :
a ) BA=BM
b ) Calculati perimetrul triunghiului AMC
c ) Fie E apartine (DC) astfel incat [BD] congruent [DE] . Demonstrati ca [AE] congruent [EC] si AE perpendicular pe MC

Answer 1

a)
triunghiurile dreptunghice BDA si BDM sunt congruente pentru ca au catetele respectiv congruente, deci BA=BM
b)
cu T∡30° ⇔ AC=2AD=8=AM si in plus ∡CAM=90-∡ACB=60° deci tr. AMC este echilateral cu latura de 8 cm si perimetrul de 24 cm
patrulaterul ABME este romb (diagonale perpendiculare si se injumatatesc), AEB este echilateral
∡CAE=∡CAB-∡EAB=90-60=30°=∡ACB ⇔ tr. CAE este isoscel deoarece are unghiurile de la baza AC congruente ⇒ AE=EC
c)
am aratat mai sus ca tr. AMC este echilateral, unim M cu E si prelungim pana intersecteaza AC in F
AEMB este romb  ⇔ ∡AME=∡EAM=30° rezulta:
∡AFM=180-∡FAM-∡AME=180-60-30=90° ⇒ MF⊥AC, CD⊥AM, MF∩CD={E}, 
rezulta ca AE⊥CM, a treia perpendiculara trece tot prin E (inaltimile intr-un triunghi sunt concurente in ortocentru)