Question

Fie triunghiul ABC.Daca B apartine (AD),astfel incat (AB)=(BD),M este mijlocul laturii BC si AM intersectat cu DC={E},atunci aratati ca:
a)DE=2EC
b)AM=3ME
c)Aria triunghiADC=12x Aria triunghiuluiMEC

Va rog si figura

Answer 1

toata problema se rezuma la echivalenta triunghiurilor generate de mediane
am pus pe figura ariile x,z si v unde avem relatiile:
in tr. BEC  ⇒ 2(z+v)   (1)
in tr. BED ⇒  2x-2(z+v) (2)
tr. ABE ≈ tr. BED ⇒ x+z+v=2x-2(z+v) ⇒ x=3(z+v) (3)
facem raportul (1)/(2)=CE/DE=(z+v)/[x-(z+v)] si inlocuim pe zz+v din (3)
CE/DE=1/2  ⇒ DE=2CE

b)
AM/ME=x/(z+v)=3 (din (3) z+v=x/3)

c)
aria ABC=4x
aria MCE=z+v=x/3
raportul ariilor este 12

Answer 2

Desenăm triunghiul ABC și prelungim AB cu BD, astfel încât B să fie

mijlocul segmentului [AD].

Ducem mediana AM, cu M pe BC.

Mediana AM intersectează DC în E.

a) Urmează să arătăm că DE = 2EC.

Vom duce BF||AE și observăm că , în triunghiul BFC, ME = linie mijlocie ⇒

⇒ FE = EC    (*)

În triunghiul ADE ⇒ BF = linie mijlocie ⇒ DF = FE     (**)

Din relațiile (*), (**) ⇒ DF = FE = EC= DC/3 ⇒DE = (2/3)DC și EC=(1/3)DC

Așadar, DE = 2EC.

b) Notăm ME = x.

Am văzut că ME=linie mijlocie în ΔBFC ⇒ BF = 2x.

Dar, BF = linie mijlocie în ΔADE ⇒ AE = 2BF = 2·2x = 4x

AM = AE - ME = 4x - x = 3x 

Așadar, avem: AM = 3x = 3ME

c)

 Fie Aria(MEC) = s

AM = 3ME ⇒ Aria(AMC) = 3s

AM -mediană în ΔABC ⇒ Aria (AMB) = Aria(AMC) = 3s ⇒ 

⇒ Aria(ABC) = 3s + 3s = 6s

CB- mediană în ΔADC ⇒ Aria(BDC) =Aria(ABC) =6s

Aria(ADC)  = Aria(BDC) +Aria(ABC) = 6s + 6s = 12s