Question

Fie triunghiul ABC dreptunghic in A (AC > AB) si AD _|_ BC, D apartine [BC] . Fie P si Q puncte pe dreapta AD, astfel incat BD=DP, DC=DQ. Punctele D, P, Q sunt in aceasta ordine pe AD. Demonstrati ca dreptele BP si CQ sunt perpendiculare
Dreptele CP si BQ suunt perpendiculare

AJUTOR

Answer 1

BD=DP ⇒ triunghiul dreptunghic BDP este isoscel ⇒ ∡PBD=∡BPD=45°=∡QPE opuse la varf
∡QPE=45° , {E}=BP∩CQ

DC=DQ ⇒ triunghiul dreptunghic QDC este soscel ⇒ ∡DCQ=∡DQC=45°

in consecinta, triunghiul QPE este dreptunghic in E pentru ca are 2 unghiuri de 45° ⇒ BE⊥QC ⇒ BP⊥QC

in triunghiul BQC QD⊥BC si BE⊥QC ⇒ P este ortocentru triunghiului si prin urmare CF⊥BQ (inaltimile sunt concurente in ortocentru), {F}=CP∩BQ
rezulta:
CP⊥BQ