Question

Fie triunghiul ABC dreptunghic in A. Prelungim mediana [AM] (M∈[BC] cu [MD]≡[AC] si fie S punctul de intersectie dintre bisectoarea unghiului <CAM si bisectoarea unghiului <CMD. Aratati ca punctele C,S,D sunt coliniare daca si numai daca m(<ABC)=$54^{o}$.

Answer 1

Vezi desen atasat:
Daca <ABC =54 => <BAC=90-54=36
Stim ca intr-un triunghi dreptunghic mediana ce apartine ipotenuzei este egala cu ipotenuza /2 , adica:
AM=MC=MB
Si avem in Δisoscel MAC:
<MAC=36, iar <AMC=180-36-36=108

Daca ducem bisectoarea <CMD :MS  si avem ΔMSD in care <DMS=<SMC=36
In ΔMAS, fiindca AS este bisectoarea <MAC, avem:
<MAS=<MAC/2=18
<AMS=<MAC+<CMS=108+36=144=>
<MSA=180-<AMS-<MAS=180-144-18= 18=> Daca <MAS=<MSA=>
ΔMAS=isoscel cu AM=MS, dar AM=MC, deci MC=MS

Comparam ΔSMD cu ΔMAC
<SMD=MAC
MS=MC
MD=AC
=> conform cazului de congruenta LUL ca :ΔSMD ≡ ΔMAC
=> <MDS=36 si <DSM=108 iar DS=MS

in ΔMCD , Avem <CMS=<CMD/2=36
daca am demonstrat anterior ca MC=MS, atunci ΔMCS=isoscel , si <MSC=<MCS=(180-<CMS)/2= (180-36)/2=72

Daca <MSC=72 iar <MSD=108
<CSD= <MSC+<MSD=72+108=180 => punctele CSD sunt coliniare