Question

Fie triunghiul ABC echilateral si punctele P,Q,R pe laturile AB ,BC,CA,astfel incat AP=BQ=CR.Perpendicularele in P,Q,R pe AB,BC ,CA intersecteaza BC,AC,AB in punctele T,M,S.Demonstrati ca triunghiul TMS este echilateral.

Answer 1

nu intru in detalii pentru ca e mult de scris
QC=PB=AR
triunghiurile dreptunghice MQC, TPB si SRA sunt congruente cu un unghi de 30°  cu T30° au ipotenuzele congruente.
rezulta:
MQ=TP=SR  (1)
fara detalii: tr. APF, BQE si RCH sunt congruente, rezulta:
AF=BE=CH din care rezulta: FC=BH=AE (2)
observam ca tr. AME, BHS si FCT sunt isoscele pentru ca au doua unghiuri de 30° (fi atent la figura), rezulta:
FC=CT
BH=SB
AE=AM si tinand seama de relatia (2) avem:
CT=AM=SB si mai departe QT=MR=PS  si cu relatia (1) determia congruenta triunghiurilor MQT, SRM si TPS ceea ce duce la relatia MT=ST=SM deci triunghiul MST este echilateral