Question

Fie triunghiul ABC, în care medianele AM și BN sunt reciproc perpendiculare,
AM = 9 cm, BC = 10 cm. Determinați cosinusul unghiului ABC.​

Answer 1

Dacăpunctul O este intersecția celor două mediane perpendiculare,

atunci vom avea:

BM = MC = 10:2 = 5 cm

OM = 9:3 = 3 cm, AO = 9 -3 =6 cm

(O se află la 1/3 de bază și 2/3 de vârf).

BO = 4 cm (ΔBOM - pitagoreic)

ON = AO/2 = 4/2 = 2cm

Cu teorema lui Pitagora în ΔAOB ⇒ AB = 2√13

Avem toate datele necesare aplicării teoremei cosinusului în ΔAMB

$\it cos (ABC)= \dfrac{AB^2+BM^2-AM^2}{2\cdotAB\cdotBM}=\dfrac{52+25-81}{2\cdot2\sqrt{13}\cdot5}=\dfrac{-4}{4\cdot5\sqrt{13}}=\\ \\ \\ =-\dfrac{^{\sqrt{13})}1}{\ \ 5\sqrt{13}}=-\dfrac{\sqrt{13}}{5\cdot13}=\ -\ \dfrac{\sqrt{13}}{65}$