Question

Fie triunghiul ABC isoscel, cu AB = AC, AD
bisectoarea unghiului BAC, D ∈ BCși punctul
E mijlocul laturii AB. Dreapta DE intersectează
paralela prin A la dreapta BC în punctul F, iar
punctul G este simetricul punctului F față de A.
a) Realizați un desen care să corespundă
datelor problemei.
b) Demonstrați că: b1) ADBF este dreptunghi;
b2) ABDG este paralelogram.
c) Stabiliți o relație între AB = a și BC = b așa
încât BCGF să fie poligon regulat.

Answer 1

Răspuns:

Ipoteza:

AB ≡ AC

∡BAD ≡ ∡CAD

AE ≡ EB

AF // BC

AF ≡ AG

Explicație pas cu pas:

a) vezi desenul

b1)

AF // BD ⇒ ADBF = trapez

ΔABC = isoscel, AD este bisectoare ⇒ AD este mediana si inaltime

⇒ AD ⊥ BD ⇒ ADBF = trapez dreptunghic

AF //BD ⇒ ∡FAB ≡ ∡ ABD (alterne interne)

⇒ ∡FAE ≡ ∡ EBD  ;  ∡FEA ≡ ∡ BED (opuse la varf)  ; AE ≡ EB

⇒ ΔAEF ≡ Δ BED (caz ULU)

⇒ AF ≡ BD ⇒ ADBF = dreptunghi.

b2)

AF ≡ AG

AF ≡ BD

⇒ AG ≡ BD

AG // BD ⇒ ABDG = paralelogram.

c)

poligonul regulat cu 4 laturi se numete patrat.

Asadar: BF ≡ BC ≡ CG ≡ GF

AB = a

BC = b

BD = BC/2 = b/2

ADBF = dreptunghi ⇒ AD ≡ BF ≡BC = b

AD = b

ΔABD este dreptunghic, aplicam teorema lui Pitagora:

AB² = AD² + BD²

a² = b² +(b/2)²

a² = b² + b²/4 = 5b²/4

a = (b*√5)/2