Question

Fie triunghiul ABC isoscel , m(A)=36 , [AB]=[AC]. Bisectoarea unghiului B intersecteaza paralela prin C la AB in pc E. aratati ca ABCE este trapez isoscel

Answer 1

m(∡BAC)=36°

Un triunghi are 180° in total.

m(∡ABC)+m(∡ACB) = 180° - 36° = 144°

Dar cum triunghiul este isoscel: ∡ABC≡∡ACB

m(∡ABC)=72°=m(∡ACB)

Bisectuarea din B va trece si prin AC in formarea lui, punctul de intersectie il vom nota cu F.

m(∡ABF)=36° (deoarece BE este bisectuare)

Observam ca ΔAFB este isoscel, deoarece ∡ABF≡∡BAF, de unde putem spune ca AF≡BF (vom avea nevoie de asta imediat)

Vrem sa demonstram ca ABCE este trapez isoscel. Deja stim ca e trapez pentru ca ne spune ca dreapta CE║AB, ceea ce il face automat trapez. Pentru a il face si isoscel trebuie sa demonstram ca AE≡BC.

Mai avem nevoie de inca un lucru inainte de asta.

AB║CE, cu secanta AC, respectiv BE, vor forma unghiuri congruente alterne interne. Mai precis ne trebuiesc doua dintre ele.

∡BAF≡∡ECF

∡ABF≡∡CEF

Datorita celor 2 congruente, avem iar un triunghi isoscel ΔFEC. De aici reiese ca si cele 2 laturi opuse unghiurilor congruente sunt si ele congruente. FE≡FC

Ca sa facem acest lucru, vom compara ΔBCF cu ΔAEF

∡BFC≡∡EFA (unghiuri opuse la varf)

AF≡BF (demonstrat mai sus)

FE≡CF (demonstrat mai sus)

De aici rezulta ca ΔBCF ≡ ΔAEF

Din aceasta congruenta de triunghiuri avem nevoie de o singura congruenta. Anume ca AE≡BC. Si asa am demonstrat ca ABCE este trapez isoscel.