Question

Fie triunghiul ABC M -mijlocul AC,N aparține BM astfel încât BM vector=4BN vector si P aparține lui BC astfel incât PC vector= -6PB vector.Arătați că A, N ,P sunt puncte coliniare

Answer 1

desenul se va face dupa cum urmeaza:
se  imparte [BM] in 4 parti egale, [BN]=[BM]/4, astfel ca sa se respecte relatia vectoriala BM=4BN
segmentul BC se imparte in 7 parti egale si se ia [BP]=[PC]/6, astfel se restecta relatia vectoriala  PC=6BP sau PC=-6PB

vectorial:
1)  AN=AC/2+3MB/4 ( vector suma in tr.AMN)
2)  AP=AC+6CB/7=AC+6(CA/2+MB) (vector suma in tr. APC si apoi in CMB)

AP=(7AC+3CA+6MB)/7 = (4AC+6MB)/7=8(AC/2 + 3MB/4)/7

AP=8(AC/2+3MB/4)/7 si tanand seama de relatia 1) avem:
AP=αAN, α=8/7 deci vectorii AP si AN sunt coplanari si au un punc comun A deci A,N si P sunt coliniare