Question

Fie triunghiul ABC si A’simetricul punctului A fata de BC. Demonstrati ca AB||A’C daca si numai daca triunghiul ABC este isoscel cu AB=AC

Answer 1

-deoarece avem expresia ,,daca si numai daca" va trebui sa demonstram problema in ambele situatii
1. daca triunghiul este isoscel vom arata ca  AB||A’C
2. daca AB||A’C vom arata ca triunghiul este isoscel
Fie M mijlocul lui BC. Stim ca simetricul lui A se construieste prelungind pe AM cu un segment MA'=MA

1. Daca AB=AC si avem MA'=MA   BM=MC
rezulta ca triunghiurile ABM si A'CM sunt congruente
deci m(BAA')=m(CA'A)
cu alte cuvinte secanta A'A taie dreptele AB si A'C astfel incat determina aparitia de unghiuri alterne interne egale
Conform teoremelor din paralelism AB si A'C nu pot fi decat paralele
2.
Daca AB si A'C sunt paralele rezulta ca secanta AA' determina cu aceste paralele m(BAA')=m(CA'A) ca unghiuri alterne interne
Din constructia efectuata pentru a gasi simetricul BM=MC si AM=MA' si AM perpendiculara pe BC
Aceste trei relatii spun ca triunghiurile ABM si A'CM sunt congruente
dar si triunghiurile A'CM si AMC sunt congruente (AM=A'M, CM-latura comuna sia au cate un unghi drept
concluzie: triunghiurile ABM si ACM congruente
deci AB=AC