Fie triunghiul ABC si [AO] o mediana a sa. Demonstati ca triunghiul ABC este dreptunghi in A, daca si numai daca AO = BC/2. Vreau rezolvare completa!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
3
1) daca AO=BO=OC rezulta ca AO este raza unui cerc cu diametrul BC, situatie in care laturile AB si AC ale unghiului A subantind jumatate de cerc deci ∡A=180/2=90° (vezi masura unghiului cu varful pe cerc)
2) daca ∡A=90°, rezulta ca tr. ABC poate fi asimilat cu jumatate dintr-un dreptunghi cu diagonalele congruente cu BC , diagonale care se injumatatesc.
prin urmare AO=BC/2, BO=OC
congruenta diagonalelor se demonstreaza prin congruenta triunghiurilor ABC cu ABD
injumatatirea diagonalelor rezulta din congruenta triunghiurilor BOC cu AOD
daca vrei sa folosesti figura pentru 2) atunci considera diagonalele BD si AC iar triunghiul este ABD
pentru 1) te lamureste figura a doua
2) daca ∡A=90°, rezulta ca tr. ABC poate fi asimilat cu jumatate dintr-un dreptunghi cu diagonalele congruente cu BC , diagonale care se injumatatesc.
prin urmare AO=BC/2, BO=OC
congruenta diagonalelor se demonstreaza prin congruenta triunghiurilor ABC cu ABD
injumatatirea diagonalelor rezulta din congruenta triunghiurilor BOC cu AOD
daca vrei sa folosesti figura pentru 2) atunci considera diagonalele BD si AC iar triunghiul este ABD
pentru 1) te lamureste figura a doua
Anexe:
waltersamuel:
Multumesc mult de tot!
de tinut minte:
in orice paralelogram diagonalele se injumatatesc
in plus:
la romb diagonalele sunt perpendiculare
la patrat diagonalele sunt congruente si perpendiculare
la dreptunghi diagonalele sunt congruente
toate cele comentate fac parte din categoria paralelogramelor
ok
Răspuns de
2
Salut,
Trebuie demonstrata o propozitie de forma „p, daca si numai daca q”. Aceasta inseamna ca trebuie demonstrate doua propozitii, directa si reciproca sa. In cazul acesta cele doua propozitii sunt:
I. Daca [AO] este mediana in triunghiul ABC, dreptunghic in A, atunci AO = BC / 2.
II. Daca [AO] este mediana in triunghiul ABC si AO = BC / 2 atunci triunghiul este dreptunghic in A.
Demonstram propozitia directa (I.).
Construim [OD] ≡ [OA] , A, O, D coliniare.
Deoarece [BO] ≡ [OC], din ipoteza, rezulta ca ABDC este paralelogram.
Dar, m(∡BAC) = 90° ==> ABDC este dreptunghi.
==> BC = AD ==> BO = OC = OD = OA. Deci AO = BC / 2.
Demonstram propozitia reciproca (II.).
Construim, ca mai inainte, [OD] ≡ [OA] , A, O, D coliniare. Deoarece [BO] ≡ [OC], din ipoteza, rezulta din nou ca ABDC este paralelogram.
Dar AO = BO = OC = OD, deci AD = DC si prin urmare ABDC este dreptunghi ( paralelogram cu diagonalele congruente ). Rezulta ca m(∡BAC) = 90°.
Trebuie demonstrata o propozitie de forma „p, daca si numai daca q”. Aceasta inseamna ca trebuie demonstrate doua propozitii, directa si reciproca sa. In cazul acesta cele doua propozitii sunt:
I. Daca [AO] este mediana in triunghiul ABC, dreptunghic in A, atunci AO = BC / 2.
II. Daca [AO] este mediana in triunghiul ABC si AO = BC / 2 atunci triunghiul este dreptunghic in A.
Demonstram propozitia directa (I.).
Construim [OD] ≡ [OA] , A, O, D coliniare.
Deoarece [BO] ≡ [OC], din ipoteza, rezulta ca ABDC este paralelogram.
Dar, m(∡BAC) = 90° ==> ABDC este dreptunghi.
==> BC = AD ==> BO = OC = OD = OA. Deci AO = BC / 2.
Demonstram propozitia reciproca (II.).
Construim, ca mai inainte, [OD] ≡ [OA] , A, O, D coliniare. Deoarece [BO] ≡ [OC], din ipoteza, rezulta din nou ca ABDC este paralelogram.
Dar AO = BO = OC = OD, deci AD = DC si prin urmare ABDC este dreptunghi ( paralelogram cu diagonalele congruente ). Rezulta ca m(∡BAC) = 90°.
Multumesc!
Alte întrebări interesante
Engleza,
8 ani în urmă
Geografie,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă