Question

Fie triunghiul ABC  si G centrul sau de greutate . Paralelele prin G la AB si AC  taie BC respectiv in D si E . Demonstrati ca BD = DE = EC. Va rog ajutati-ma repede si imi trebuie si poza cu desenul .. Repedeeee

Answer 1

Fie B' intersectia dintre BG cu AC (deci BB' este mediana) si C' intersectia dintre CG cu AB  (CC' este de asemenea mediana).
Stim ca G, centrul de greutate al tr ABC este situat la $\frac{1}{3}$ de baza si $\frac{2}{3}$ de varf (pentru orice varf).
Din GD||AB se determina rapoartele de asemanare (egale):

$\frac{CG}{CC'} = \frac{CD}{CB} = \frac{2}{3}$, deci

CD=CB*$\frac{2}{3}$

BD = CB-CD si inlocuim CD gasit mai sus:

BD = CB - CB*$\frac{2}{3}$

BD = CB* $\frac{1}{3}$  (rel 1)

De asemenea, din GE||AC avem rapoartele egale:

$\frac{BG}{BB'} = \frac{BE}{BC} = \frac{2}{3}$ , deci

BE=BC*$\frac{2}{3}$

CE = BC-BE si inlocuim BE gasit mai sus:

CE = BC - BC*$\frac{2}{3}$

CE = BC* $\frac{1}{3}$  (rel 2)

DE = BC-BD-CE

DE = BC - BC* $\frac{1}{3}$ - BC* $\frac{1}{3}$

DE = BC* $\frac{1}{3}$  (rel 3)

Din (rel 1), (rel 2) si (rel 3) rezulta BD=DE=CE.