Question

Fie triunghiul ABC și numerele x=AB•AC cu vectori,y=BC•BA cu vectori și z=CA•CB cu vectori.Exprimati numerele x,y,z in funcție de lungimile laturilor triunghiului și măsurile unghiurilor triunghiului, apoi arătați că x=y=z daca și numai dacă triunghiul ABC este echilateral.Va rog foarte mult sa mă ajutați

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$x=\vec{AB} \: \vec{AC} = AB\times AC\times cos (BAC)\\y=\vec{BC}\:\vec{BA} = BC\times BA\times cos(ABC)\\z=\vec{CA}\:\vec{CB} = CA\times CB\times cos(ACB)\\\\x = y = z \rightarrow\\AB\times AC\times cos (BAC)= BC\times BA\times cos(ABC)= CA\times CB\times cos(ACB)\\AB\times AC\times cos (BAC)= BC\times AB\times cos(ABC)\\AB\times AC\times cos (BAC)= AC\times BC\times cos(ACB) \rightarrow \\AB\times cos(BAC) = BC \times cos(ACB)$

$\\AB\times AC\times cos (BAC)= BC\times AB\times cos(ABC)\rightarrow\\AC\times cos(BAC) = BC\times cos(ABC)$

$BC\times BA\times cos(ABC)= CA\times CB\times cos(ACB)\rightarrow\\AB\times cos(ABC)=AC\times cos(ACB)$

$cos(BAC) = \frac{BC}{AB}\times cos(ACB)\\cos(BAC) = \frac{BC}{AC}\times cos(ABC)\\\rightarrow \frac{cos(ACB)}{AB}=\frac{cos(ABC)}{AC}\\\rightarrow AC\times cos(ACB) = AB\times cos(ABC)$

Acum, fie D proiectia punctului A pe latura BC. Acum avem:

$CD = BD \rightarrow D\:este\:mijlocul\:lui\:BC\rightarrow AD-mediana\:si\:inaltime\rightarrow ABC\:isoscel(AB = AC)$

$Analog, AC\times cos(BAC) = BC\times cos(ABC)\\AB\times cos(ABC)=AC\times cos(ACB)\\\\\rightarrow \frac{cos(BAC)}{BC} = \frac{cos(ACB)}{AB}\\\rightarrow AB \times cos(BAC) = BC\times cos(ACB)$

Acum, fie E proiectia lui C pe AB

$EA = EB \rightarrow E - mijlocul\:lui\:AB\\\rightarrow CE-mediana\:si\:inaltime\\\rightarrow ABC\: isoscel(CA = CB)$

Deci, toate laturile sunt congruente$\rightarrow$ ABC - isoscel