Question

Fie triunghiul echilateral ABC de latura 24 cm și M un punct ce nu aparține planului (ABC) , astfel încât MA=MB=MC=12 radical din 3 cm.
a) Dacă D apartine (BC) astfel încât BD congruent cu DC, calculati aria triunghiului MAD.
b) Dacă MN perpendicular pe AD, N apartine de AD, calculati lungimea segmentului MN.
Va rog mult! Dau coroana! ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) ΔABC echilateral. AB=24cm.  D este mijlocul laturii BC.

⇒AD⊥BC, Din ΔACD, ⇒AD²=AC²-CD²=24²-12²=12²·2²-12²·1=12²·(2²-1)=12²·3

⇒AD=12√3cm=MA. Deci ΔMAD isoscel cu baza MD.

MC=MB, ⇒ΔMBC isoscel cu baza BC, ⇒MD mediană, ⇒MD⊥BC. Din ΔMCD ⇒ MD²=MC²-CD²=(12√3)²-12²=12²·3-12²·1=12²·(3-1)=12²·2.

Deci MD=12√2cm. Fie E mijlocul segmentului MD, ⇒AE⊥MD. DE=MD/2

DE=6√2. Din ΔADE, ⇒ AE²=AD²-DE²=(12√3)²-(6√2)²=12²·3-6²·2=6²·2²·3-6²·2=6²·(12-2)=6²·10. Deci AE=6√10cm

Atunci Aria(MAD)=(1/2)·MD·AE=(1/2)·12√2·6√10=36√20=36·√(4·5)=72√5cm². Deci Aria(MAD)=72√5cm².

b) MN⊥AD, deci MN este înălțime în ΔMAD.

Aria( ΔMAD)=(1/2)·AD·MN=72√5 cm², ⇒ (1/2)·12√3·MN=72√5, ⇒ 6√3·MN=72√5, |:6, ⇒ √3·MN=12√5, ⇒ MN=12√5/√3=12√15/3=4√15 cm.