Question

Fie triunghiul echilateral ABC și AA' perpendicular pe BC . Se prelungește [BC] dincolo de B cu BM astfel încât [MB] congruent cu [BA'] . Se notează cu N mijlocul laturii [AB] și cu P intersecţia dreptei MN cu înălţimea AA' . Demonstraţi că CP perpendicular pe AM .


Dau coroană cui reușește să o rezolve !

Answer 1

Notăm lungimea laturii triunghiului echilateral ABC cu l.

AA'⊥ BC ⇒ AA' - înălțime ⇒ AA' -mediană ⇒ BA' = A'C = l/2.

BM = BA' ⇒ BM = l/2

N - mijlocul lui [AB] ⇒ NB = AB/2 = l/2.

Unim punctele A' și N, astfel obținem triunghiul NMA', unde NB -mediană și 

NB = BM = BA' ⇒ mediana NB = MA'/2 ⇒ Δ NMA' dreptunghic în N      (1)

A'N este mediana corespunz[toare ipotenuzei în ΔA'AB ⇒

⇒ NA' = AB/2 = l/2. Se observă că NB = BA' = A'N =l/2 ⇒

⇒  ΔNBA' - echilateral ⇒ m(∡BA'N) =60°     (2)

(1), (2) ⇒ m(∡NMA') = 30° (complementul lui 60°)     (3)

Prelungim MP până intersectează AC în F și în triunghiul FMC rezultă că

m(∡F) = 180° - [m(∡FMC) + m(∡MCF)] = 180° - (30° + 60°) = 90° ⇒

⇒ MF⊥AC ⇒ MF - înălțime în ΔAMC, dar și AA' este o înălțime în ΔAMC, 

iar cele două înălțimi se intersectează în P, prin urmare punctul P

 reprezintă ortocentrul triunghiului AMC. De aici rezultă că cea de a treia

înălțime a acestui triunghi   va conține punctele C și P, adică vom avea

CP⊥ AM.