Question

Fie triunghiul echilateral ABC și M un punct nesituat în planul (ABC) , astfel încât MA=6 cm , MB=MC=6√3 cm și MD=6√2 cm , unde D € (BC) și [BD] congruent cu [DC] . Stabiliți natura triunghiului MAD și calculați aria acestuia

Answer 1

Unind punctele A si D, obtinem AD, mediana, dar triunghiul ABC (din ipoteza) echilateral si stim din clasa a VI-a ca mediana poate fi considerata si inaltime, si mediatoare, si bisectoare (din proprietatile triunghiului echilateral)stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este, h_{\Delta ABC}=\frac{l\sqrt{3}}{2}. Din ipoteza stim caMB=MC, deci triunghiul MBC este isoscel de baza BC, MD stim ca este mediana (din ipteza), dar si inaltime (conform teoremei de la proprietatile triunghiului isoscel), astfel calculand MD cu Teorema lui Pitagora obtinem BD^{2}=MC^{2}-MD^{2} \\BD^{2}=(6\sqrt{3})^{2}-(6\sqrt{2})^{2} \\BD^{2}=108-72 \\BD^{2}=36 \\BD=\sqrt{36} \\BD=6 cm Cum BD= DC obtinem BD=DC=6, deci BC=12 cm. Cum triunghiul ABC echilateral obtinem ca AB=AC=BC=12 cm. Cum am aflat laturile triunghiului echilateral ABC putem sa aflam si pe AD, dupa cum am spus si mai sus AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} cm. In triunghiul MAD stim MA=6, MD=6\sqrt{2} cm (din ipoteza) si AD=6\sqrt{3}, iar daca ne uitam cu atentie si aplicam reciproca lui Pitagora obtinem ca triunghiul este dreptunghic. Deci A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}\;\; cm^{2}.