Question

Fie triunghiul echilateral ABC si P apartine (AB) , Q apartine (BC) si S apartine (AC) astfel incat AP=BQ=CS. Demonstrati ca triunghiul PQS este echilateral

Answer 1

ΔABC-echilateral⇒AB≡AC≡BC
                               AP≡SC≡BQ⇒AS≡QC≡PB 
Fie ΔASP
      ΔCSQ, AP≡SC
                  AS≡QC
                  m<PAS=m<SCQ⇒conf LUL     ΔASP≡ΔCSQ ⇒ PS≡QS(1)
Fie ΔASP si ΔBPQ, AP≡QB
                                 AS≡PB
                                 m<PAS=m<PBQ⇒ conf LUL ΔASP ≡ ΔBPQ⇒PS≡PQ
                                                                                                               (2)
din (1) si (2)⇒PS≡SQ≡PQ⇒ΔPSQ-echilateral

Answer 2

notam cu l latura tr ABC

PB = l - AP = k

QC = l - BQ = k

AS = l - CS = k

de aici rezulta ca daca AP=BQ=CS atunci si PB=QC=AS

mai departe observam ca triunghiurile PBQ, CQS si APS sunt congruente (LUL):

PB=QC=AS

∡B=∡C∡A

BQ=CS=AP

daca tr sunt comgruente atunci:

PQ=QS=SP ceea ce inseamna ca tr. PQS este echilateral