Question

Fie triunghiul echilateral ABC si V un punct exterior planului (ABC) astfel incat VA=VB=CV=12 cm si AB=10 radical din 3 cm.Calculati distanta de la punctul V la planul (ABC).

Answer 1

Sa presupunem ca proiectia lui V pe planul ABC este punctul D. Atunci, VD este perpendicular pe orice dreapta din planul (ABC), drepte care includ segmentele:
AD,BD si CD.
Sa ne uitam la triunghirule VAD,VBD,VCD. Stim ca toate trei sunt dreptunghice, pentru ca VD este perpendiculara pe AD.BD,CD cum spuseram inainte, Atunci vom avea:
VAD dreptunghic, cu VD,AD catete, VA ipotenuza
VBD dreptunghic, cu VD,BD catete, VB ipotenuza
VAD dreptunghic, cu VD,CD catete, VC ipotenuza
Dar vedem ca toate trei au o cateta comuna, VD si ipotenuzele sunt egale conform enuntului: VA=VB=VC. Atunci avem un caz de congruenta Cateta Ipotenuza, si toate cele trei triunghiuri sunt congruente, de unde rezulta ca
AD=BD=CD. Aceasta relatie este corecta daca s numai daca D ar fi centrul cercului circumscris triunghiului ABC, deoarece in acel caz A.B.C ar fi puncte pe cerc si AD,BD,CD ar fi raze, deci de aceeasi lungime.

Atunci D este centrul cercului circumscris, deci
$AD=R_{\triangle echilateral}=l\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}*\sqrt{3}}{3}=10$ unde am folosit formula pentru raza cercului din triunghi echilateral
VAD este triunghi dreptunghic, stim ipotenuza si o cateta, deci putem afla cealalta cateta, adica inaltimea VD
$VD^{2}=VA^{2}-AD^{2}=144-100=44\Rightarrow VD=2\sqrt{11}$