Question

fie triunghiul isoscel ABC cu AB=AC si ABC=ACB.Daca M si N sunt puncte pe drapta BC,astfel incat AM perpendicular pe AB si An perpendicular pe AC,demonstrati ca
a)AM=AN
b)ABM=ACN
c)distanta de la B la An este egala cu distanta de la C la Am
d)distanta de la M la AC este egala cu distanta de la N la Ab

Answer 1

a) AM=AN
M apartine BC=>m(MBA)=m(CBA)=m(ACB)
N apartine BC=> m(NCA)=m(BCA)
In ▲ACN si ▲ABM:
m(MAB)=m(NAC)(1)
AC=AB(2)
m(MBA)=m(NCA)(3)
Din (1), (2) si (3)=> conform criteriului U.L.U.=> ▲ABM=▲ACN=> AN=AM
b) M apartine BC=>m(MBA)=m(CBA)=m(ACB)
N apartine BC=> m(NCA)=m(BCA)=m(ACB) (deoarece ▲ABC este isoscel)
c)
Fie MM'=d(M;AC), M' apartine AC=> ▲AM'M dreptunghic in M'
Fie NN'=d(N';AB), N' apartine AB=> ▲AN'N dreptunghic in N'
▲ ABN si ▲ ACN:
AN=AM(4)
AB=AC (5)
m(NBA)=m(MCA) (6)
Din (4), (5) si (6)=> conform criteriului L.U.L.=> ▲ABN si▲ACN sunt congruente
▲AMM' si ▲AN'N
m(M')=90°=m(N')(7)
AM=AN(8)
Din (7) si (8)=> conform criteriului I.U.=> ▲AMM' congruent cu ▲ANN'=>NN'=MM'