Question

Fie un paraleligram AB= 12 cm si AC= AD =10 cm . perpendiculara din C pe AB intersecteaza pe AB in M si pe AD in E .
a.aratati ca triunghiul AME comgruent cu triunghiul BMC
b. deminstrati ca ACBE este romb
c. Calculati aria patrulaterului BCDE .
Va roog , toata rezolvarea si cat mai repede

Answer 1

AB║AD, CE secanta⇒∡AEC≡∡BCE(alterne interne)  (1)
Dar AC=DA(ipoteza si DA=BC(laturi opuse in paralelogram), deci AC=BC⇒
ΔCBA isoscel
CM⊥AB⇒[CM] inaltime in ΔCBA isoscel⇒[CM] mediana ⇒BM=MA
[CM] inaltime in ΔCBA isoscel⇒[CM] bisectoarea ∡ACB⇒
⇒∡CBM≡∡ACM.(2)
Din (1) si (2)⇒ΔACE isoscel cu baza [CE]⇒AC=AE.
In ΔBMC si ΔAME dreptunghice (m∡M=90), avem: CB=AE si MB=MA. Pe cazul CI rezulta ca cele doua triunghiuri sunt ≡, ceea ce trebuia demonstrat la a)

b)CB║AD, dar E∈AD⇒BC║AE
BC=AE(amandoua sunt egale cu AC). Din astea doua rezulta AEBC paralelogram.
Dar AE=AC(dem anterior) , rezulta AEBC romb (paralelogramul cu 2 laturi consecutive ≡ este romb) 

c) Fie CP⊥DE, P∈(DE)
Aria AEBC=AB*CE/2
ΔCMB dreptunghic in M, din Teorema lui Pitagora⇒
[tex]CM^2=CB^2-MB^2=10^2-6^2=64 \\ CM= \sqrt{64}=8 [/tex]
CE=2CM=2*8=16cm
(am tinut conti ca in romb diagonalele se injumatatesc, deci M este mijlocul fiecarei diagonale)
Aria AEBC=12*16/2=96 cm patrati.
Aria lui AEBC=CP*AE, deci CP=Aria AEBC/AE=96/10=9,6cm
Aria CAD=AD*CP/2=10*9.6/2=96/2=48cm.
Aria lui DEBC=Aria lui CDA+Aria lui AEBC=48+96=144cm patrati