Question

Fie un patrat ABCD si punctele M,N,P,Q care apartin semidreptelor AB,BC,CD,DA si pentru care AM≡BN≡CP≡DQ.Demonstrati ca MNPQ este patrat.

Answer 1

Daca AM=BN=CP=DQ, atunci si MB=NC=PD=QA, rezultand faptul ca triunghiurile dreptunghice AMQ, BNM, CQN si DPA sunt congruente.

Asadar, laturile MN, NP, PQ si MQ sunt congruente.

AB||CD=>AM||CP

∆AMQ=∆CPN }=>MQ||PN

BC||AD=>AQ||CN

Din toare acestea, rezulta ca MNPQ este un paralelogram cu toate laturile congruente.

Din moment ce triunghiurile dreptunghice AMQ, BNM, CQN si DPA sunt congruente, atunci masurile unghiurilor <MNP, <NPQ, <PQM si <QMN sunt comgruente.

m(<QMN)=180°- (m(<AMQ) + m(<BMN))

Si din moment ce ∆AMQ=∆BMN, atunci m(<BMN)=m(<AQM), ceea ce rezulta ca m(<QMN)=90°, la fel ca toate celelalte unghiuri din paralelogramul MNPQ, intr-un final acesta fiind un patrat

Answer 2

Deci...avand acele puncte situate pe laturi,laturile vor fi alcatuite din cate doua parti, ceea ce urmeaza sa scriu:

AB=AM+BM

BC=BN+NC

CD=CP+PD

AD=AQ+QD

AB=BC=CD=DA(ipoteza)    1)

AM=BN=CP=DQ(ipoteza)   2)

Din 1) si 2)⇒MB=NC=PD=AQ

Luam doua triunghiuri

ΔAMQ                                    AM=BN

    si        (se trage o bara)    AQ=MB  $\\L.U.L.\\====>$ ΔAMQ ≡ΔMBN=>QM≡MN

ΔMBN                                    ∡A=∡B

ΔMBN                                    MN=NC

     si    (tragem iar bara)        ∡B=∡C  $\\L.U.L.\\====>$  ΔMBN≡ΔNCP =>MN=NP

ΔNCP                                     BN=CP

                                             

ΔNCP  si  ΔPDQ=> NC=DQ

                                ∡C=∡D   $\\L.U.L.\\====>$ ΔNCP≡ΔPDQ=>NP=PQ

                                 NC=DP

ΔPDQ si ΔAQM=> DP=AQ

                                DQ=AM  $\\L.U.L.\\====>$ ΔPDQ≡ΔAQM

                                ∡A=∡D

Dim toooot ceea ce am scris,rezulta ca QM=MN=NP=PQ=>MNPQ-patrat