Question

Fie un triunghi ABC cu A = 90 de grade, si AD inaltime a triunghiului. Demonstrati ca: a) AD < BC/2 b) daca AD = BC/2, atunci B=C c) AD < 1/4(AB+BC+CA)

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

triunghi ABC cu A = 90 de grade, si AD inaltime a triunghiului. Deci AD⊥BC.

a) Dacă ∡B≠∡C, iar AM este mediană, atunci din ΔAMD, ⇒AD<AM (cateta < ipotenuza), dar AM este mediană în ΔABC, deci AM=BC/2. Atunci AD<BC/2.

b) Dacă  ∡B=∡C, atunci Mediana AM este și înălțime, deci AD=AM, deci D≡M. Atunci AD=BC/2.

c) Pentru ∡B≠∡C, avem AD<BC/2, ⇒

BC>2·AD  (1)

AC>AD  (2)   (rezultă din ΔADC, ipotenuza > cateta)

AB>AD  (3)    (rezultă din ΔABD, ipotenuza > cateta)

Din (1)+(2)+(3), ⇒AB+BC+CA>2AD+AD+AD, ⇒AB+BC+CA>4·AD, ⇒

4·AD<AB+BC+CA, ⇒AD<(1/4)·(AB+BC+CA)