Question

Fie un triunghi dreptunghic ABC, cu masura unghiului A=90 grade.Se duce CD -bisectoarea unghiului c, cu D care apartine lui AB si DE perpendicular pe BC, E apartine lui BC.
a)Demonstrati ca triunghiul ACE este isoscel
b)Daca inaltimea din A a triunghiului ABc intersecteaza bisectoarea CD in punctul F, demonsteati ca triunghiul DAF este isoscel.

Answer 1

triunghiurile ACD si CDE sunt congruente:
ipotenuza CD comuna
∡DCE=∡DCA , DC este bisectoarea unghiului C
prin urmare avem 2 tr. dreptunghice care au ipotenuzele si cate un unghi ascutit respectiv congruente. din relatia de congruenta rezulta:
AC=CE deci tr. ACE este isoscel

b)
∡DCB=∡DCA=x (DC e bisectoare)
∡GFC=∡AFD (opuse la varf) , G este piciorul perpendicularei din A pe BC, G∈BC
in tr. GFC, ∡GFC=90-x=∡AFD
in tr. ADC, ∡ADC=90-x
din ultimele 2 egalitati rezulta:
∡AFD=90-x=∡ADC ⇒tr.ADF este isoscel (are 2 unghiuri congruente)