Question

Fie un triunghi dreptunghic ABC (m(<A)=90) si triunghiurile dreptunghice isoscele ABD si ACE (m(<D)=90, m(<E)=90), cele trei triunghiuri avand doua cate doua interioarele disjuncte.
Demonstrati ca: a)punctele A, D, E sunt coliniare;
                          b)BD||CE;
                          c)bisectoarele unghiurilor D si E si dreapta BC sunt concurente.

Answer 1

a)
tr. ADB este dreptunghic isoscel  ⇒ ∡DAB=∡ADB=45°
tr. ACE este dreptunghic isoscel ⇒ ∡EAC=∡ECA=45°
observam ca ∡DAE este un unghi alungit deoarece:
 ∡DAB+∡BAC+∡CAE=45+90+45=180° , in concluzie D,A si E sunt coliniare
b)
BD⊥DE si CE⊥DE ⇒ BD║CE
c)
intr-un tr. isoscel bisectoarea din punctul comun laturilor congruente este si mediatoare.
prin urmare DO este mediatoarea lui AB di EO este mediatoarea lui AC
stim ca intr-un triunghi dreptunghic, in cazul nostru ABC, intersectia mediatoarelor este centrul cercului circumscris care se afla la jumatatea ipotenuzei. in cazul nostru BO=OC
Sau altfel spus  mediatoarele intr-un tr. dreptunghic sunt concurente la jumatatea ipotenuzei.
in consecinta bisectorele DO, EO si BC sunt concurente in O∈BC