Question

Fie un triunghi echilateral ABC . Intersectia perpendicularei in A pe BC este {D}.Intersectia unei drepte careia ii apartine punctul B cu (AC) este {F}, iar cu dreapta AD este {M}. Stiind ca m(∡MBD) = m(∡ABM)/3 , iar [CN este bisectoarea unghiului ∡ACD (N ∈ AD) , Demonstati ca (AN) ≡ (NM).

Answer 1

din punct devedere al constructiei exista 2 variante
1.∡MBD=15°, punctul M∈AD (intre N si D) varianta exclusa
2.∡DBM=30°, punctul M se afla pe prelungirea lui AD (in exteriorul triunghiului ABC), punctul F se afla pe prelungirea lui AC (in exteriorul tr. ABC)

din cate stim medianele se intersecteaza la 2/3 de la varf, deci:
AN=2AD/3
in varianta 2. a constructiei avem:
∡MBD=∡ABM/3 ⇒ ∡MBD=30° (simplu de aratat)
tr. BMC este isoscel (DM e mediatoare) ⇒ ∡BCM=30°
in tr. MNC avem ∡NMC=60° si ∡NCM=30+30=60° ⇒ tr.MNC este echilateral ⇒ ND=DM
NM=ND+DM=AD/3 + AD/3=2AD/3 = AN c.c.t.d.
am sarit unele detalii ale demonstratiei dar daca urmaresti cu atentie pe figura din varianta 2. ai sa intelegi. te ajut la nevoie.