Question

Fie un triunghi isoscel ABC cu baza [BC, un punct M apartine (AB) si punct N apartine lui (AC astfel incat (BM) congruent cu (NC). Se considera apoi doua puncte P si Q, astfel incat P apartine lui (BC) si Q apartine (BP), iar (BQ) congruent cu (PC). Fie MP apartine lui QN rezulta unghiul R. Aratati ca:
a) triunghiul MBP congruent cu triunghiul NCQ
b) Triunghiul PQR este isoscel

Answer 1

AB=AC ⇒ AM=AB-BM=AC-CN=AN ⇒ AM=AN cu reciproca thales rezulta MN║BC
triunghiurile MBQ si NCP sunt congruente (LUL)
BM=CN
∡B=∡C
BQ=PC
rezulta MQ=NP ⇒ MNPQ este trapez isoscel la care stim ca are diagonalele congruente, MP=NQ (nu detaliez amanuntele astea)
a)
triunghiurile MBP si NQC sunt congruente (LLL)
BM=CN
MP=NQ (diagonalele trapezului isoscel)
BP=BQ+QP=PC+QP=QC
b)
triunghiurile MRN si RQP sunt asemenea (unghiuri respectiv congruente, simplu de aratat)
MR/RP=NR/RQ aplic proprietatile rapoartelor egale
(MR+RP)/RP=(NR+RQ)/RQ ⇒ MP/RP=NQ/RQ dar am vazut ca MP=NQ, rezulta RQ=RP ⇒ triunghiul PQR este isoscel