Question

Fie un triunghi Δ MNP si se noteaza cu E , respectiv F, mijloacele laturilor [MN], respectiv [MP]. Bisectoarea unghiului ∡N intersecteaza dreapta EF in punctul D .
a) Demonstrati ca triunghiul Δ DEN este isoscel.
b) Demonstrati ca MD ⊥ND

Answer 1

unghiurile $\angle{MED}$ si $\angle{NED}$ sunt unghiuri suplimentare pentru ca E este mijlocul lui MN, M,E,N sunt coliniare cu E in mijloc, deci suma unghiurilor este de 180 grade
$</span>\angle{MED}+\angle{NED}=180\Rightarrow \angle{NED}=180-\angle{MED}$(1)
Unghiul MED coincide cu unghiul MEF. Dar unghiul MEF este in triunghiul MEF care este asemenea cu triunghiul MNP(EF|| cu NP este linis mijlocie, restul sunt coliniare) de unde rezulta ca MEF va fi egal cu unghiul corespondent din triunghiul MNP, adica va fi egal cu MNP 
$\angle{MED}=\angle{MEF}=\angle{MNP}$
Atunci relatia 1 devine
$\angle{NED}=180-\angle{MNP}$(2)
Dar unghiul NED poate fi calculat si din triunghiul DEN din suma unghiurilor
$\angle{NED}+\angle{END}+\angle{EDN}=180\Rightangle \angle{NED}=180-\angle{END}-\angle{EDN}$(3)
Din 2 si 3 rezulta ca
$\angle{MNP}=\angle{END}+\angle{EDN}$ Dar stim ca DN este bisectoarea unghiului MNP, adica
$\angle{END}=\frac{\angle{MNP}}{2}$ Deci
$\angle{MNP}=\frac{\angle{MNP}}{2}+\angle{EDN}\Rightarrow \angle{EDN}=\angle{MNP}-\frac{\angle{MNP}}{2}=\frac{\angle{MNP}}{2}=\angle{END}$ de unde rezulta ca triunghiul DEN este un triunghi isoscel
b) triunghiul DEN este isoscel cu laturile opuse unghiurilor egale la randul lor fiind egale. In cazul nostru, latura opusa lui EDN este EN si latura opusa lui END este ED, deci
$ED=EN$ Dar E este mijlocul lui MN, atunci
$EN=EM=\frac{MN}{2}$ din ultimele 2 relatii rezulta ca
$ED=EM$ de unde rezulta ca EDM este un triunghi isoscel cu unghiurile egale $\angle{EMD}=\angle{MDE}$
Daca ne uitam la unghiul format MDN observam ca
$\angle{MDN}=\angle{EDN}+\angle{MDE}=\angle{END}+\angle{DME}$
Acum ne uitam la tot triunghiul MDN suma unghiurilor este 180 grade
$<span>\angle{MDN}=\angle{EDN}+\angle{MDE}=180\Rightarrow 2*\angle{MDN}=180\Rightarrow \angle{MDN}=90</span>$ deci MD si DN sunt perpendiculare